Selasa, 24 Maret 2015

Rangkuman Matematika Kelas 8 Semester (1)

MATERI MATEMATIKA KELAS 8 SMP/MTSn BAB 1 : Faktorisasi Suku Aljabar

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

RINGKASAN MATERI

A.        Pengertian Faktorisasi

Faktorisasi aljabar adalah mengubah penjumlahan aljabar menjadi perkalian faktor-faktornya.

Contoh :

Karena 8 = 1 x 8, atau 8 = 2 x 4, maka 1, 2, 4 dan 8 adalah faktor-faktor dari 8

B.        Bentuk Distributif

ab + ac = a(b + c)

ab – ac = a(b – c), dengan a adalah faktor suku aljabar yang sama.

Contoh :

15p² + 9p = 3p(5p + 3)

C.        Bentuk Selisih Dua Kuadrat

a² – b² = (a + b)(a – b)

Contoh :

16m² – 9 = (4m + 3)(4m – 3)

D.       Bentuk Kuadrat Sempurna

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

Contoh :

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

x² – 16x + 64 = (x – 8)²

E.        Bentuk ax² + bx +c, dengan a = 1

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

dengan syarat : pq = c dan p + q = b

Contoh :

x² + 8x + 12 =(x + 2)(x + 6)

F.         Bentuk ax² + bx +c, dengan a ≠ 1

dengan syarat : pq = ac dan p + q = b

G.       Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Contoh :

Cara : Bentuk aljabar difaktorkan dan faktor yang sama di hilangkan

MATERI MATEMATIKA KELAS 8 SMP/MTSn BAB 2 : Relasi dan Fungsi

Relasi

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A keB adalah subhimpunan dari A×B.

$R_{AB} \subseteq A \times B$

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunanW = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisiw(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif

Irefleksif

Simetrik

Anti-simetrik

Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R$
atau

$\forall_{a \in A}\quad a R a$
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan xdan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R$
atau

$\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)$
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R$
atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a$
Sebuah relasi “ $x + y$ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi adan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)$
atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))$
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b$
atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b$
Relasi $\leq$ bersifat anti-simetrik, karena $5 \leq 6$ mengakibatkan $\lnot (6 \leq 5)$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku $p \leq q$ dan $q \leq p$ berarti $p = q$ .

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan bberhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

$(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R$
atau

$\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}$
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif

Simetrik, dan

Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif

Anti-simetrik, dan

Transitif

Fungsi (matematika)

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

$f : A \rightarrow B$
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

$x \in A$
$f : x \rightarrow x^2$
atau

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ $\in A$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepadaatau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehinggaf(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

MATERI MATEMATIKA KELAS 8 SMP/MTSn BAB 3 : Persamaan Garis Lurus

1. Definisi Gradien

Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x(absis) antara dua titik pada garis itu. Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecilm. Perhatikan gambar di bawah ini !

komponen y dari garis AB = y₂ - y₁ ; komponen x dari garis AB = x₂ - x_1,maka :

Catatan : gradien sebuah garis sering disebut kecondongan sebuah garis atau koefisien arahsebuah garis.

1.1. Macam-macam gradien

a. Gradien bernilai positif

Garis l condong ke kanan , maka m_l bernilai positif

b. Gradien bernilai negatif

Garis k condong ke kiri , maka m_k bernilai negatif

Gradien dari sebuah persamaan garis

Jika sebuah garis mempunyai persamaan ax + by = c, maka gradien persamaan garis itu ialah :

c. Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka

d. Gradien dua garis yang sejajar

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, garis l dan garis k sejajar, maka m_l = m_k

e. Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya adalah -1.Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka m_l x m_k = -1.

1.2. Contoh-Contoh Soal

Contoh 1 :

Tentukanlah gradien garis :

melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3)

melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)

Penyelesaian :

a. Melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5

Q(-9,3) berarti x2 = -9 , y2 = 3

Jadi gradient melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3) adalah

b. Melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)

A(-2,-8) berarti x = -2 , y1 = -8

Jadi gradient melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8) adalah 4

Contoh 2 :

Tentukanlah gradient sebuah garis :

yang sejajar dengan garis 4x + 2y = 6

yang tegak lurus dengan garis x - 4y = 10

Penyelesaian :

Persamaan garis 4x + 2y = 6, maka a = 4, b = 2

Dua garis yang sejajar : m1 = m2 , maka m2 = - 2

Persamaan garis x - 4y = 10, maka a = 1, b = -4

Dua garis yang tegak lurus : m1 x m2 = -1 , maka

(Sumber:Hipupsmart27.blogspot.com)

Tidak ada komentar :

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar ( Atom )